Булева алгебра

Содержание
  1. Логические функции булевой алгебры, схемы, таблицы истинности
  2. Введение в булевую алгебру
  3. Закономерная функция «И» (умножение)
  4. Закономерная функция «ИЛИ» (сложение)
  5. Закономерная функция «НЕ» (отрицание)
  6. Закономерная функция «НЕ И»
  7. Закономерная функция «НЕ ИЛИ»
  8. Булева алгебра. Алгебра логики. Детали математической логики
  9. Логика
  10. Математика и логика
  11. Джордж Буль
  12. Важные понятия и определения
  13. Операции булевой алгебры
  14. Важные логические действия
  15. Логические умножение и сложение
  16. Функции и законы
  17. Очередность операций
  18. Функции импликации и эквивалентности
  19. Иные законы булевой алгебры
  20. Как решать тесты
  21. БУ?ЛЕВА А?ЛГЕБРА

Булева алгебра. Часть 1. чуть чуть истории

Булева алгебра

В школе все мы изучали алгебру, только про булеву алгебру там не утверждали. Чем отличается булева алгебра от школьной, история ее возникновения, задачи и сферы использования описаны в сегодняшней статье.

Схема, позволяющая 2-мя выключателями лампочку в пространстве коридора включить на входе в коридор и выключить, войдя в комнату известна издревле (cм. Коридорная схема управления освещением).

Она показана на рисунке 1.
Задача №1.

Более непростая. Составить схему, дающую возможность включать и выключить свет у Вас в комнате любым из 3 самых разных выключателей.

Выключатели размещены у входа в комнату, над постелью и у письменного стола.
В спортивном комитете, к примеру заводском, собралось 5 судей.
Любой из них должен голосовать за принятие самых разных решений.

Решение принимается большинством голосов, но исключительно при том добавочном условии, что за него голосует глава комитета.
Судьи голосуют путем нажатия кнопки, замыкающей переключатель, размещенный под столом, за которым они сидят.

Замыкая переключатель, они голосуют «за», размыкая «против». Нужно начертить простейшую схему, дающую возможность автоматично видеть результаты голосования. В простейшем случае просто при помощи лампочки, – зажглась – решение принято, не зажглась,- нет.

Задача №3. Фактически такое маловероятно, однако в качестве непростой учебной задачи прекрасно подойдет.

В большой шестиугольной комнате на любой стене установлено по одному переключателю. Постройте такую схему, чтобы практически в любое время можно было включать или выключить свет в комнате поворотом одного (любого) переключателя.
После того, как вы безрезультатно просидите над задачами несколько суток, отложите их на время в сторону.

И займитесь алгеброй Буля. Собственно алгебра Буля, или, как она еще называется, булева алгебра, алгебра релейных схем, поможет вам решить составленные задачи.

Булева алгебра

Что такое алгебра Буля?
Как ни удивительно, не обращая внимания на то, что 5 лет в школе изучают алгебру, многие ученики, а потом и взрослые, не смогут дать ответ, а Что такое алгебра? Алгебра — это наука, которая изучает большинства отдельных компонентов и действия над ними.

В школьном курсе алгебры такими элементами считаются числа. Числа можно классифицировать не числами, а буквами, с этим все знакомы. На первых уроках алгебры это всегда осложняет многих учеников.

Попробуйте вспомнить, как тяжело было сначала привыкнуть взамен цифр слаживать буквы, решая ничего не говорящие уравнения.
Пожалуй, каждый из нас тогда задавал себе вопрос: «Зачем необходимо вводить буквы взамен цифр и, стоит ли это вообще?». И только позже вы поняли, какие плюсы при решении задач даёт алгебра по сравнению с математикой.

Алгебра применяется во многих точных науках. Это физика, механика, сопромат, электричество.

Закон Ома есть не что иное, как алгебраическое уравнение: достаточно взамен букв подставить их числовые значения, чтобы выяснить какой ток станет протекать в нагрузке, или какое сопротивление имеет участок цепи.
Так вы познакомились с алгеброй чисел, или с элементарной алгеброй. Главная и практически только одна задача — узнать ответ на вопрос: «Чему равняется X? Сколько?»

В старших классах школы изучают начала векторной алгебры. Эта алгебра принципиально выделяется от элементарной алгебры. В ней совершено иная природа изучаемого большинства и прочие правила действий.

Решая векторное уравнение, приобретаем в ответе вектор, который не считается простым числом, отвечающим на вопрос «Сколько?»
Формулы векторной алгебры в большинстве случаев отличны от формул элементарной алгебры. К примеру, и в элементарной алгебре и в векторной есть операция сложения.

Но осуществляется она абсолютно неодинаково. Сложение чисел осуществляется вообще не так, как сложение векторов.

Есть и иные алгебры: линейная алгебра, алгебра структур, алгебра колец, алгебра логики, или, что то же самое, алгебра Буля. На школьных уроках вы, наверняка, не слыхали имени Джорджа Буля — зато каждый знает имя одной из его талантливых дочерей Этель Войнич (1864 – 1960).

Она написала роман «Овод», где говорится о борьбе за собственные права итальянских карбонариев.

Булева алгебра

Джордж Буль появился на свет в Англии 2 ноября 1815 года. Всю собственную жизнь он работал педагогом математики и физики в школе.

Из воспоминаний его учеников известно, какое большое значение придавал Буль развитию творческих навыков учащихся. При изложении нового материала он стремился к тому, чтобы его ученики сами по новому «открывали» некоторые формулы и законы.

Говоря ученикам о трудностях, с которыми ученые неминуемо сталкивались в поисках истины, педагог любил повторить одну восточную мудрость: даже персидский трон не может принести человеку столько наслаждений, как очень небольшое научное открытие. Буль никогда не терял надежды, что когда-либо и его ученики сделают настоящее открытие.
Диапазон научных интересов Буля был довольно широк: одинаково его интересовали математика и логика — наука о законах и формах мышления.

В то время логика считалась гуманитарной наукой, и многих, кто знал Джорджа Буля, удивляло, как в одном человеке могли уживаться точные методы познания, свойственные математике, и чисто описательные методы логики.
Но ученому вздумалось сделать науку о законах и формах мышления аналогичный строгой, как и какждая из природных наук, скажем математика и физика.

Для этого Буль стал классифицировать буквами не числа, как это выполняется в обыкновенной алгебре, а высказывания и показал, что такими уравнениями, очень схожими с алгебраическими, можно решать вопросы об истинности и ложности высказываний, выполненных человеком. Так появилась алгебра Буля.
Но еще задолго до Джорджа Буля немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц (1646—1716) первый раз высказал идею о создании науки, которая обозначит все понятия обыкновенной разговорной речи символами и установит определенную новую алгебру для соединения данных символов.

После создания такой науки, по мнению Лейбница, ученые и философы перестанут дискутировать и перекрикивать друг друга, выясняя истину, а возьмут в руки карандаш и спокойно скажут: «Давайте-ка вычислять!»

Булева алгебра

Сейчас алгебра логики стала важнейшей важной частью математики. Одна из ее задач — такое решение различных уравнений, числовые соотношения в которых заменены буквенными.

Любой из вас, наверняка, на всю собственную жизнь запомнил, как решать уравнения второй и третьей степени с буквенными коэффициентами. Так вот, Буль в собственной новой алгебре воспользовался всеми данными формулами и правилами.

Новым в алгебре Буля считается то, что детали большинства, которые в ней изучаются, считаются не числами, а высказываниями. Если при решении обыкновенных алгебраических уравнений определяется, какому числу равняется безызвестное X, школьная алгебра ищет ответ на вопрос: «Сколько?»

Алгебра логики ищет ответ на вопрос: «Правильно ли то либо иное утверждение, обозначенное буквой X?»
Смысл и содержание высказывания тут не играют никакой роли. Каждое утверждение может быть только или настоящим, или ложным.

Оно не может быть частично настоящим и частично ложным. Как пример можно припомнить метание жребия с помощью монеты.
Там рассматриваются всего лишь два состояния монеты — орел или решка.

По договоренности сторон орел это ДА, а решка это НЕТ. Никакие иные промежуточные положения в теории вероятностей не берутся во внимание, хотя они и возможны. Подброшенная монета может упасть на ребро, докатиться по полу до ножки стула или стола и так и остаться вертикально, а то и вообще провалиться в широкую щель в полу. (По аналогичности с работающими от электричества схемами две последних ситуации можно рассматривать как неисправность в виде обгоревшего контакта).

Однако в те далекие времена булева алгебра, к сожалению, массового распространения не обрела.

Булева алгебра

Вновь «открыл» алгебру Буля Клод Шеннон.

Во второй половине 30-ых годов двадцатого века, будучи еще студентом Массачусетского технологического института и Америке, молодой Клод доказал, что алгебра Буля прекрасно подойдет для анализа и синтеза релейных и переключательных схем.
При помощи алгебры Буля можно достаточно легко составить электрическую схему автомата, работающего на реле.

Для этого, оказывается, необходимо только наверняка знать, что должен делать автомат, другими словами следует иметь алгоритм его работы. Так была заложена база теории цифровых машин, действующих по принципу ДА либо нет.
Такая кратко история булевой алгебры.

В следующих статьях мы будем рассматривать ее важные законы, варианты контактных схем реализующие эти законы. Рассмотрим решение тех задач, которые были приведены перед началом статьи.

Логические функции булевой алгебры, схемы, таблицы истинности

Содержание:

В сегодняшней статье мы начинаем обозревать булевую алгебру или алгебру логики. Рассмотрим детали функции на схеме, а еще приведем таблицы истинности для абсолютно всех логических функций.

Введение в булевую алгебру

В первой половине 50-ых годов XIX века Джордж Буль провел обследование «законов мышления», которые основывались на простой версии теории «групп» или «множеств», и из данного была выведена булевая алгебра.
Булева алгебра имеет дело, в основном, с теорией, благодаря ей логические операции и операции над множествами являются либо «ИСТИННЫМИ», либо «ЛОЖНЫМИ», однако не двумя одновременно.
К примеру, A + A = A, а не 2A, как это было бы в обыкновенной алгебре.

Булева алгебра — это простой и прекрасный способ представления действия переключения типовых логических вентилей, а важные логические операторы, которые нас тут интересуют, задаются операциями логических вентилей функций И , ИЛИ и НЕ.

Закономерная функция «И» (умножение)

Функция логики И говорит, что два или более события должны происходить вместе и в тоже время, чтобы случалось выходное действие. Порядок, в котором происходят эти действия, значения не имеет, так как он не оказывает влияние на итоговый результат. К примеру, & B = B & . В булевой алгебре функция логики И подчиняется коммутативному закону, который позволяет изменение положения любой переменной.

Функция «И» представлена в электронике символом точки или полной остановки ( . ) Подобным образом, 2-входное ( АВ ) «И» компонент имеет выходной термин, представленный логическим высказыванием A.

B или же просто AB.

Представление функции «И» на схеме

Булева алгебра

Тут два переключателя A и B соединены вместе, организуя последовательную цепь.

По этой причине в упомянутой выше цепи оба выключателя A «И» B обязаны быть замкнуты (логика «1»), чтобы включить лампу. Иначе говоря оба переключателя обязаны быть замкнуты или обязаны иметь логическую «1», чтобы лампа горела.

Тогда закономерный компонент данного типа (закономерный компонент «И» ) создаёт выход лишь тогда, когда все его входы истины. В терминах булевой алгебры вывод будет ИСТИНА, только когда все его входы ИСТИНА. В электрическом смысле закономерная функция «И» равна последовательной цепи, как показано выше.

Так как есть всего лишь два переключателя, каждый с 2-мя потенциальными состояниями «открытый» или «закрытый». Определяя логическую «0» как то, когда переключатель разомкнут, и логическую «1», когда переключатель замкнут, есть 4-ре самых разных способа или конфигурации расположения 2-ух переключателей вместе, как показано в таблице, которую увидите ниже.

Таблица истинности для функции «И»

Булева алгебра

Логические «И» детали доступны как типовые пакеты ic, например общие TTL 74LS08 Четырехпозиционные 2-входные позитивные детали «И» (или эквивалент CMOS 4081), TTL 74LS11 Тройные 3-входные позитивные детали «И» или 74LS21 Двойные 4-входные позитивные детали «И». «И» ворота можно тоже «каскадировать» вместе для создания цепей с более чем 4 входами.

Закономерная функция «ИЛИ» (сложение)

Функция логического «ИЛИ» говорит, что выходное действие станет ИСТИНОЙ, если одно «ИЛИ» больше событий ИСТИНЫ, но порядок, в котором они случаются, значения не имеет, так как он не оказывает влияние на итоговый результат.
Так , к примеру, А + В = В + А . В булевой алгебре функция логического «ИЛИ» подчиняется коммутативному закону также, как и для логической функции «И», что дает возможность менять положение любой переменной.
Логика или логическое выражение, данное для логического элемента «ИЛИ», считается логическим высказыванием, которое отмечается знаком плюс, ( + ). Подобным образом, 2-входной ( АВ ) Закономерный компонент «ИЛИ» имеет выход термин, представленный булевой высказыванием: A + B = Q .

Представление функции «ИЛИ» на схеме

Булева алгебра

Тут два переключателя Но и B соединены параллельно и, либо переключатель A «ИЛИ» переключатель B может быть закрыт, чтобы включить лампу.

Иначе говоря выключатель может быть замкнут, либо быть на логике «1», чтобы лампа была включена.
Тогда данный тип логического элемента вырабует и выводит лишь тогда, когда находится «ЛЮБОЙ» из его входов, и в терминах Булевой алгебры выход будет ИСТИНА, если любой из его входов ИСТИНЕН.

В электрическом смысле закономерная функция «ИЛИ» равна параллельной цепи.
Как и в случае с функцией «И», существует два переключателя, каждый с 2-мя потенциальными положениями, открытыми или закрытыми, по этой причине будет 4 самых разных способа расположения переключателей.

Таблица истинности для функции «ИЛИ»

Булева алгебра

Логические «ИЛИ» детали доступны в виде типовых пакетов ic, например как общие TTL 74LS32 Четырехместные 2-входные позитивные «ИЛИ» детали.

Как и в предыдущем логическом элементе «И», «ИЛИ» тоже может быть «каскадно» соединен для создания цепей с очень приличным количеством входов, например как системы сигнализации с элементами охраны (территория A или территория B или территория C и т.д.).

Закономерная функция «НЕ» (отрицание)

Функция «Логическое НЕ» — это просто преобразователь напряжения с одним входом, который изменяет вход логического уровня «1» на выход логического уровня «0» и наоборот.
«Функция логического НЕ» именуется так, так как ее выходное состояние НЕсходится с его входным состоянием с ее логическим высказыванием, в большинстве случаев обозначаемым чертой или линией ( ? ) над его входным символом, который означает операцию инвертирования (отсюда ее наименование как преобразователь напряжения).
Так как логическое «НЕ» делает логическую функцию инвертирования или комплементационной, их чаще именуют преобразователями напряжения, так как они инвертируют сигнал.

В логических схемах это отрицание может быть продемонстрировано хорошо замкнутым переключателем.

Представление функции «НЕ» на схеме

Булева алгебра

Если A значит, что переключатель замкнут, то «НЕ» A или А (с верхней чертой) говорит, что переключатель НЕ замкнут или, иначе говоря он разомкнут.

Функция логического НЕ имеет один вход и один выход, как показано на рисунке.

Таблица истинности для функции «НЕ»

Булева алгебра

Указатель инверсии для логической функции «НЕ» считается символом «пузыря», ( O) на выходе (или входе) символа логических компонентов.

В булевой алгебре инвертирующая закономерная функция «НЕ» следует Закону дополнения, создающему инверсию.

Логические «НЕ» детали или «Преобразователи напряжения», как их чаще именуют, могут быть связаны с классическими элементами «И» и» ИЛИ» для создания компонентов «НЕ И» и «НЕ ИЛИ» исходя из этого.

Преобразователи напряжения также могут применяться для генерации «дополнительных» сигналов в очень сложных декодерах / логических схемах, к примеру, добавление логики A — это «НЕ» A , а два постепенно скреплённых преобразователя напряжения дают двойную инверсию, которая выдаёт на собственном выходе исходное значение A.
Во время проектирования логических схем вам будет не лишним всего один или два преобразователя напряжения в вашей конструкции, однако если у вас не остаётся места или денег для выделенного чипа преобразователя напряжения, такого как 74LS04. Тогда вы можете легко заставить логику «НЕ» работать, применяя любые запасные детали «НЕ А» или «НЕ ИЛИ», просто объединяя их входы вместе, как показано ниже.

Закономерная функция «НЕ И»

Функция «НЕ И» собой представляет комбинацию 2-ух индивидуальных логических функций, функции «И» и функции «НЕ» постепенно. Закономерная функция «НЕ И» может быть выражается логическим высказыванием AB (с верхней чертой)

Булева алгебра

Функция логического «НЕ И» вырабует выход, только когда «Любые» из ее входов отсутствуют, и в терминах булевой алгебры выход будет ИСТИНА, только когда любой из ее входов Обман (0).

Представление функции «НЕ И» на схеме

Булева алгебра

Таблица истинности для функции «НЕ И» противоположна таблице для предыдущей функции «И», так как компонент «НЕ И» делает обратную операцию элемента «И».

Иначе говоря компонент «НЕ И» считается дополнением элемента «И».

Таблица истинности для функции «НЕ И»

Булева алгебра

Функция «НЕ И» отмечается вертикальной чертой или стрелкой вверх, к примеру, закономерный B = A | Bили A ^ B .
Логика «НЕ И» применяется в качестве главных «шлакоблоков», чтобы построить иные функции логического элемента и доступны в типовых IC пакетов, например общий TTL — 74LS00 Четырехместный 2-входной «НЕ И» компонент, TTL — 74LS10 Тройной 3-входной «НЕ И» компонент или 74LS20 Двойной 4-х входной «НЕ И» компонент.

Бывают даже один чип 74LS30 с 8 входами «НЕ И» элемента.

Закономерная функция «НЕ ИЛИ»

Закономерный компонент «НЕ ИЛИ» собой представляет комбинацию 2-ух индивидуальных логических функций, «НЕ» и «ИЛИ», скреплённых вместе, чтобы создать единую логическую функцию, которая похожа функции «ИЛИ», кроме того, что выход инвертирован.
Чтобы создать вентиль «НЕ ИЛИ», функция «ИЛИ» и функция «НЕ» соединены вместе постепенно, и ее операция определяется булевым высказыванием как, A + B (с верхней чертой).

Булева алгебра

Функция логического «НЕ ИЛИ» вырабует и выводит лишь тогда, когда отсутствуют «ВСЕ» ее входы, и в терминах булевой алгебры выход будет ИСТИНА лишь тогда, когда все ее входы ЛОЖНЫ .

Представление функции «НЕ ИЛИ» на схеме

Булева алгебра

Таблица истинности для функции «НЕ ИЛИ» противоположна таблице для предыдущей функции «ИЛИ», так как компонент «НЕ ИЛИ» делает обратную операцию элемента «ИЛИ».

Тогда мы видим, что компонент «НЕ ИЛИ» считается дополнением элемента «ИЛИ».

Таблица истинности для функции «НЕ ИЛИ»

Булева алгебра

Функция «НЕ ИЛИ» иногда известна как функция Пирса и отмечается стрелкой вниз, А «НЕ ИЛИ» B = A v B.

Логика элемента «НЕ ИЛИ» доступны как типовые IC пакетов, например как TTL 74LS02 Четырехместный 2-входной компонент «НЕ ИЛИ», TTL 74LS27 Тройной 3-входной компонент «НЕ ИЛИ» или 74LS260 Двойной 5-входной компонент «НЕ ИЛИ».

Булева алгебра. Алгебра логики. Детали математической логики

В нынешнем мире мы очень часто применяем разные машины и девайсы. И не только тогда, когда нужно применить буквально нечеловеческую силу: переставить груз, поднять его на высоту, вырыть длинную и глубокую канаву и т. д. Машины сегодня собирают роботы, еду приготавливают мультиварки, а элементарные арифметические расчеты делают калькуляторы.

Очень часто мы слышим выражение «булева алгебра». Пожалуй, настало время разобраться в роли человека в разработке роботов и умении машин решать не только математические, но и логические задачи.

Логика

Если перевести с греческого логика – это упорядоченная система мышления, которая создаёт связи между заданными условиями и дает возможность делать умозаключения, опираясь на предпосылках и предположениях. Очень часто мы задаемся вопросом друг друга: «Логично?» Получившийся ответ доказывает наши предположения либо осуждает ход мысли.

Но процесс не останавливается: мы продолжим говорить.
Иногда кол-во условий (вводных) до такой степени велико, а связи между ними столь запутанны и сложны, что человеческий мозг не в состоянии «переварить» все сразу.

Может потребоваться несколько месяцев (неделя, год) для понимания происходящего. Но сегодняшняя жизнь не даёт нам подобных не постоянных интервалов на принятие решений. И мы прибегаем к помощи компьютеров.

И вот тут-то и возникает алгебра логики, с собственными законами и качествами. Погрузив все исходники, мы позволяем компьютеру узнать все связи, убрать противоречия и найти неплохое решение.

Булева алгебра

Математика и логика

Известнейший Готфрид Вильгельм Лейбниц сформулировал понятие «математическая логика», задачи которой были понятны только ограниченному кругу ученых. Особенного заинтересованности это направление не вызывало, и до середины Девятнадцатого века о математической логике знали немногие.
Растущий интерес в научных сообществах вызвал спор, в котором британец Джордж Буль заявил о собственном намерении создать раздел математики, не имеющий полностью никакого использования на практике.

Как мы помним из истории, в данное время активно развивалось товарное производство, разрабатывались самые разные подсобные машины и станки, т. е. все научные открытия имели практичную тенденция.
Забегая вперед, скажем, что булева алгебра – самая используемая в нынешнем мире часть математики.

Так что спор собственный Буль проиграл.

Джордж Буль

Сама личность автора заслуживает специального внимания. Даже если учесть то, что в минувшем люди росли до недавнего времени нас, все равно нужно подчеркнуть, что в 16 лет Дж. Буль преподавал в сельской школе, а к 20 годам открыл свою школу в Линкольне.

Математик прекрасно владел пятью иностранными языками, а в свободное время зачитывался работами Ньютона и Лагранжа. И это все – о сыне обычного рабочего!

Булева алгебра

Во второй половине 30-ых годов XIX века Буль первый раз послал собственные научные работы в Кембриджский математический журнал.

Ученому выполнилось 24 года. Работы Буля настолько заинтересовали членов Королевского научного общества, что в первой половине 40-ых годов XIX века он получил медаль за взнос в развитие матанализа.

Еще несколько напечатанных работ, в которых были описаны детали математической логики, дали возможность молодому математику занять пост профессора в колледже графства Корк. Отметим, что у самого Буля образования не было.
Как правило, булева алгебра весьма проста.

Есть высказывания (логические выражения), которые, с точки зрения математики, можно определить только 2-мя словами: «истина» или «обман». К примеру, весной деревья расцветают – истина, летом идет снег – обман.

Вся прелесть этой математики состоит в том, что нет строгой надобности применять исключительно числа. Для алгебры суждений прекрасно вписуются любые высказывания с однозначным умыслом.
Подобным образом, алгебра логики может быть применена буквально везде: в создании расписаний и написании руководств, анализе противоречивой информации о событиях и определении очередности действий.

Очень важное – понять, что абсолютно не имеет значение, как мы установили истинность или ложность высказывания. От данных «как» и «почему» необходимо отвлечься. Имеет значение только констатация факта: истина-ложь.

Несомненно, для программирования актуальны функции алгебры логики, которые пишутся соответствующими знаками и символами. И выучить их – это означает постичь новый иноземный язык.

Нет ничего невозможного.

Важные понятия и определения

Не вдаваясь в глубины, попытаемся разобраться с терминологией. Итак, булева алгебра подразумевает наличие:

  • высказываний;
  • логических операций;
  • функций и законов.

Высказывания – любые утвердительные выражения, которые не могут быть истолкованы двузначно. Они пишутся в виде чисел (5 > 3) или формулируются привычными словами (слон – очень большое млекопитающее).

При этом фраза «у жирафа нет шеи» также имеет право на существование, только булева алгебра определит её как «обман».
Все высказывания должны носить четкий характер, однако они могут быть простыми и составными. Последние применяют логические связки.

Т. е. в алгебре суждений составные высказывания появляются сложением простых при помощи логических операций.

Булева алгебра

Операции булевой алгебры

Мы уже помним, что операции в алгебре суждений – логические. Сродни тому, как алгебра чисел применяет арифметические операции для сложения, вычитания или сравнение чисел, детали математической логики дают возможность составить непростые высказывания, дать отрицание или определить итоговый результат.

Логические операции для формализации и простоты пишутся формулами, обыкновенными для нас в математике. Свойства булевой алгебры предоставляют возможность записывать уравнения и вычислять малоизвестные. Логические операции в большинстве случаев записывают при помощи таблицы истинности.

Её столбцы формируют детали вычислений и операцию, которая над ними выполняется, а строки показывают результат вычислений.

Важные логические действия

Очень популярными в булевой алгебре операциями являются отрицание (НЕ) и логические И и ИЛИ. Так можно описать фактически все действия в алгебре суждений. Изучим детальнее любую из трех операций.

Отрицание (не) используется исключительно к одному элементу (операнду). По этой причине операцию отрицания именуют унарной. Для записи понятия «не А» применяют такие символы: ¬A, A??? или !A.

В табличной форме это выглядит так:

Булева алгебра

Для функции отрицания отличительно подобное заявление: если А истинно, то Б – ложно.

К примеру, Луна крутится вокруг Земли – истина; Земля крутится вокруг Луны – обман.

Логические умножение и сложение

Логическое И именуют операцией конъюнкции. Что это означает? Во-первых, что применить ее можно к двум операндам, т. е. И – бинарная операция.

Второе, что лишь в случае истинности двоих операндов (и А, и Б) истинно и само выражение. Пословица «Упорство и труд все перетрут» подразумевает, что только оба фактора смогут помочь человеку справиться со сложностями.
Для записи применяются символы: A?Б, A?Б или A&&Б.

Конъюнкция аналогична умножению в математике. Иногда так и говорят – логическое умножение.

Если перемножить детали таблицы по строкам, мы получаем результат, подобный логическому размышлению.
Дизъюнкцией именуют операцию логического ИЛИ. Она принимает значение истинности тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно (или А, или Б).

Записывается это так: A?Б, A+Б или A||Б. Таблицы истинности для данных операций такие:

Булева алгебра

Дизъюнкция подобна арифметическому сложению.

Операция логического сложения имеет единственное ограничение: 1+1=1. Но мы же помним, что в цифровом формате математическая логика ограничена 0 и 1 (где 1 – истина, 0 – обман).

К примеру, заявление «в музее можно заметить шедевр или встретить интересного собеседника» значит, что можно увидеть произведения художественного искусства, а можно ознакомиться с интересным человеком. В то же время, не исключен вариант одновременного свершения двоих событий.

Функции и законы

Итак, мы уже знаем, какие логические операции применяет булева алгебра. Функции описывают все свойства компонентов математической логики и дают возможность упрощать непростые составные условия задач. Самым понятным и обычным кажется свойство отказа от производных операций.

Под производными понимаются исключающее ИЛИ, импликация и эквивалентность. Так как мы познакомились исключительно с ключевыми операциями, то и свойства рассмотрим тоже исключительно их.

Ассоциативность значит, что в высказываниях типа «и А, и Б, и В» очередность начисления операндов роли не играет. Формулой это запишется так:
Как можно заметить, это присуще не только конъюнкции, но и дизъюнкции.

Булева алгебра

Коммутативность говорит, что результат конъюнкции или дизъюнкции не зависит от того, какой компонент рассматривался сначала:

Дистрибутивность позволяет раскрывать скобки в непростых логических выражениях. Правила схожи с раскрытием скобок при умножении и сложении в алгебре:

Свойства единицы и нуля, которые могут быть одним из операндов, также сходственны алгебраическим умножению на ноль или единицу и сложению с единицей:
Идемпотентность говорит нам про то, что если относительно 2-ух равных операндов результат операции оказывается подобным, то можно «выкинуть» лишние усложняющие ход рассуждений операнды.

И конъюнкция, и дизъюнкция являются идемпотентными операциями.
Поглощение также дает нам возможность упрощать уравнения.

Поглощение говорит, что когда к выражению с одним операндом используется абсолютно другая операция с этим же элементом, результатом оказывается операнд из поглощающей операции.

Очередность операций

Очередность операций имеет большое значение. Собственно, как и для алгебры, есть приоритетность функций, которые применяет булева алгебра.

Формулы могут упрощаться лишь при условии выполнения значимости операций. Ранжируя от самых важных до несущественных, получаем такую очередность:
3. Дизъюнкция, исключающее ИЛИ.

4. Импликация, эквивалентность.
Как можно заметить, только отрицание и конъюнкция не имеют равных приоритетов.

А приоритет дизъюнкции и исключающего ИЛИ равны, также как и приоритеты импликации и эквивалентности.

Функции импликации и эквивалентности

Как мы уже рассказывали, кроме главных логических операций математическая логика и доктрина алгоритмов применяет производные. Очень часто используются импликация и эквивалентность.

Импликация, или логическое следование – это утверждение, в котором одно действие считается требованием, а другое – следствием его выполнения. Говоря иначе, это предложение с предлогами «если. то». «Любишь кататься, люби и саночки возить». Т. е. для катания нужно натянуть санки на горку.

Если же нет желания съехать с горы, то и санки таскать не приходится. Записывается это так: A>Б или A?Б.
Эквивалентность подразумевает, что результирующее действие приходит исключительно в случае, когда истиной являются оба операнда.

К примеру, ночь меняется днем тогда (и лишь тогда), когда солнце становится из-за горизонта. На языке математической логики это заявление записывается так: A?Б, A?Б, A==Б.

Иные законы булевой алгебры

Алгебра суждений развивается, и многие заинтересовавшиеся ученые сформулировали новые законы. Самыми популярными считаются правила шотландского математика О. де Моргана.

Он заметил и дал обозначение таким особенностям, как узкое отрицание, добавление и двойное отрицание.
Узкое отрицание подразумевает, что перед скобкой нет ни одного отрицания: не (А или Б)= не А или НЕ Б.

Когда операнд отрицается, независимо от собственного значения, говорят о дополнении:
И, в конце концов, двойное отрицание само себя возмещает.

Т.е. перед операндом либо пропадает отрицание, либо остается лишь одно.

Как решать тесты

Математическая логика предполагает упрощение заданных уравнений. Также, как и в алгебре, нужно сначала максимально упростить требование (освободится от непростых вводных и операций с ними), а потом приступить к поиску верного ответа.

Что же сделать для упрощения? Изменить все производные операции в обычные. После открыть все скобки (либо наоборот, вынести за скобки, чтобы уменьшить такой элемент).

Следующим действием должно стать использование параметров булевой алгебры на самом деле (поглощение, свойства нуля и единицы и т. д).

Булева алгебра

В конечном счете уравнение должно состоять из предельного числа малоизвестных, объединенных лёгкими процедурами.

Легче всего искать решение, если достичь огромного количества тесных отрицаний. Тогда ответ всплывет как бы сам собой.

БУ?ЛЕВА А?ЛГЕБРА

  • Том 4. Москва, 2006, стр. 333

    Скопировать библиографическую ссылку:

    БУ?ЛЕВА А?ЛГЕБРА (бу­ле­ва ре­шёт­ка), час­тич­но упо­ря­до­чен­ное мно­же­ст­во спе­ци­аль­но­го ви­да. Б. а. мож­но фор­маль­но оп­ре­де­лить как не­пус­тое мно­же­ст­во с опе­ра­ция­ми $\lor, \land, ? $ удов­ле­тво­ряю­щи­ми ак­сио­мам:

    Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

    четыре × пять =